ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ଏବଂ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ପର୍କରେ ଜାଣିବା । କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ହେଉଛି ଉକ୍ତ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ବାରମ୍ବାର ବା କ୍ରମିକ ଯୋଗ । ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ପରସ୍ପର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ସେମାନଙ୍କ ଲବମାନଙ୍କୁ ଏକାଠି ଏବଂ ହରମାନଙ୍କୁ ଏକାଠି ଗୁଣନ କରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି ଲବମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ବିଭକ୍ତ ହରମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ । ଗୁଣନ କରିବା ସମୟରେ ଲବ ଓ ହର ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଥିଲେ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ କାଟି ଲଘିଷ୍ଠ ବା ସର୍ବନିମ୍ନ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ପ୍ରାଚୀନ ଭାରତରେ ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ‘ଅପବର୍ତ୍ତନ’ କୁହାଯାଉଥିଲା । ଏହା ସହିତ ଗୁଣନରେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମ ବଦଳିଲେ ମଧ୍ୟ ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ସମାନ ରହିଥାଏ ।
ସାଧାରଣତଃ ଦୁଇଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ ବଢ଼ିଥାଏ, କିନ୍ତୁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ ସବୁବେଳେ ସେପରି ହୁଏ ନାହିଁ । ଯଦି ଗୁଣନ ହେଉଥିବା ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟା ୦ ଏବଂ ୧ ମଧ୍ୟରେ ଥାଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ହୋଇଥାଏ । କିନ୍ତୁ ଯଦି କୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ୧ ଠାରୁ ବଡ଼ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଗୁଣଫଳଟି ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହୁଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନେଇ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ମାଧ୍ୟମରେ ମଧ୍ୟ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନକୁ ଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ସହଜରେ ବୁଝିହୁଏ ।
ଅଧ୍ୟାୟର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଭାଗରେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ହରଣ ବା ଭାଗକ୍ରିୟା ବୁଝାଯାଇଛି । ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ୧ ହୁଏ, ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପରର ‘ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ’ ବା ‘ପ୍ରତିଲୋମୀ’ କୁହାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବକୁ ହର ଏବଂ ହରକୁ ଲବ କଲେ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା ମିଳେ । ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଭାଗକ୍ରିୟା କରିବା ପାଇଁ ଭାଜ୍ୟକୁ ଭାଜକର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ସହିତ ଗୁଣନ କରାଯାଏ । ଭାଗକ୍ରିୟାରେ ଭାଜକଟି ୦ ଓ ୧ ମଧ୍ୟରେ ଥିଲେ ଭାଗଫଳ ଭାଜ୍ୟଠାରୁ ବଡ଼ ହୁଏ ଏବଂ ଭାଜକ ୧ ଠାରୁ ବଡ଼ ହେଲେ ଭାଗଫଳ ଭାଜ୍ୟଠାରୁ ସାନ ହୁଏ ।
ପ୍ରାଚୀନ ଭାରତରେ ଏହି ଗାଣିତିକ ନିୟମଗୁଡ଼ିକର ବିଶେଷ ବିକାଶ ହୋଇଥିଲା । ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଗଣିତଜ୍ଞ ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତ ତାଙ୍କ ‘ବ୍ରହ୍ମସ୍ଫୁଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ’ରେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ଓ ହରଣର ଏହି ସୂତ୍ର ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ପ୍ରତିପାଦନ କରିଥିଲେ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ଭାସ୍କରାଚାର୍ଯ୍ୟ ତାଙ୍କ ‘ଲୀଳାବତୀ’ ପୁସ୍ତକରେ ଏହାକୁ ଅତି ସରଳ ଭାବେ ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ । ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁର ବଣ୍ଟନ, ମାପଚୁପ ଏବଂ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଏହି ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ ବେଶ୍ ଉପଯୋଗୀ ଅଟେ ।