କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଗୁଣନ କଲେ ପ୍ରାପ୍ତ ଗୁଣଫଳକୁ ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏବଂ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ କେବଳ ୦, ୧, ୪, ୫, ୬ କିମ୍ବା ୯ ଅଙ୍କ ରହିଥାଏ ।
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ୨, ୩, ୭ କିମ୍ବା ୮ ଥାଏ, ତାହା କଦାପି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।
ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ଥାଏ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ହୋଇନଥାଏ ।
କେବଳ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ ।
୧ ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା n² ସହିତ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।
୧ ରୁ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ବିୟୋଗ କରି ଶେଷରେ ଶୂନ ମିଳିଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ବର୍ଗମୂଳ ଥାଏ, ଯେଉଁଥିରୁ ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ ।
ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ଯୋଡ଼ି ବା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାରେ ରହିଥାଏ ।
ପରସ୍ପର ପାଖାପାଖି ଥିବା ଯେ କୌଣସି ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଦାନ କରେ ।
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନିଜ ସହିତ ତିନିଥର ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରାପ୍ତ ଗୁଣଫଳକୁ ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ବା ଘନଫଳ କୁହାଯାଏ ।
ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପରି ନୁହେଁ, ବରଂ ଯେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ୦ ରୁ ୯ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କ ରହିପାରେ ।
ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନ ତିନୋଟି ଭାଗରେ ବା ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ଗୋଷ୍ଠୀରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ ।
କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ଦଳ ଗଠନ କରି ଯୋଗ କଲେ କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଥାଏ ।
ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରୁଥିବା ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ୧୭୨୯ କୁ ହାର୍ଡ଼ି-ରାମାନୁଜନ ବା ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।