ପରିବର୍ତ୍ତନ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ଖୋଜିବା ହେଉଛି ସମାନୁପାତିକ ଯୁକ୍ତିର ମୂଳ ଆଧାର। ଯେପରି କୌଣସି ଛବିର ଲମ୍ବ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ ସମାନ ଅନୁପାତରେ ବଦଳାଇଲେ ଛବିର ପ୍ରକୃତ ରୂପ ଅକ୍ଷୁଣ୍ଣ ରହେ, ସେହିପରି ଗାଣିତିକ ହିସାବରେ ମଧ୍ୟ ଏହା କାର୍ଯ୍ୟ କରେ। ଦୁଇଟି ସମଜାତୀୟ ରାଶିର ତୁଳନା କରି ପ୍ରଥମ ରାଶିଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର କେତେ ଗୁଣ ବା କେତେ ଅଂଶ, ତାହା ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ଅନୁପାତ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ। ଅନୁପାତରେ ଥିବା ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘ପୂର୍ବପଦ’ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘ପରପଦ’ କୁହାଯାଏ। ଉଭୟ ପଦକୁ ସେମାନଙ୍କର ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ (ଗ.ସା.ଗୁ.) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି ଅନୁପାତର ଲଘିଷ୍ଠ ରୂପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ। ଅନୁପାତର ଉଭୟ ପଦକୁ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ ବା ଭାଗ କଲେ ତାର ମାନ ସମାନ ରହେ, କିନ୍ତୁ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ ବା ବିୟୋଗ କଲେ ମୂଳ ଅନୁପାତ ବଦଳିଯାଏ।
ଦୁଇଟି ଅନୁପାତ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ‘ସମାନୁପାତୀ’ କୁହାଯାଏ। ସମାନୁପାତରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ରାଶି ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରଥମ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପଦର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ପଦର ଗୁଣଫଳ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ, ଯାହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତି କୁହାଯାଏ। ଏହା ମାଧ୍ୟମରେ ତିନୋଟି ଜଣା ରାଶି ସାହାଯ୍ୟରେ ଚତୁର୍ଥ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିଟିକୁ ସହଜରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ। ପ୍ରାଚୀନ ଭାରତୀୟ ଗଣିତଜ୍ଞ ଆର୍ଯ୍ୟଭଟ୍ଟ ଏହି ପଦ୍ଧତିକୁ ‘ତ୍ରି-ରାଶି’ ବା ‘ତ୍ରୈରାଶିକ’ ନିୟମ କହିଥିଲେ, ଯେଉଁଥିରେ ପ୍ରମାଣ, ଫଳ ଓ ଇଚ୍ଛା ବ୍ୟବହାର କରି ଅଜ୍ଞାତ ‘ଇଚ୍ଛାଫଳ’ ବାହାର କରାଯାଏ। ମନେରଖିବାକୁ ହେବ ଯେ, ସମାନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରିବା ସମୟରେ ତୁଳନା କରାଯାଉଥିବା ରାଶିଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ଏକକରେ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ। ଯଦି ଏକକ ଅଲଗା ଥାଏ, ତେବେ ଉପଯୁକ୍ତ ଏକକ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବାକୁ ପଡ଼େ।
ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମାଣକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଅନୁପାତରେ ଅସମାନ ଭାବେ ବାଣ୍ଟିବାର ସରଳ ଉପାୟ ମଧ୍ୟ ଶିକ୍ଷା ଦିଆଯାଇଛି। ସେଥିପାଇଁ ପ୍ରଥମେ ଅନୁପାତର ପଦ ଦ୍ୱୟର ଯୋଗଫଳ ବାହାର କରି ମୋଟ ପରିମାଣକୁ ସେହି ଯୋଗଫଳ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ଏବଂ ପରେ ଭାଗଫଳକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ସହିତ ଗୁଣନ କରି ନିଜ ନିଜର ଅଂଶ ବାହାର କରାଯାଏ। ତେବେ ସବୁ ପରିସ୍ଥିତି ସମାନୁପାତୀ ହୋଇନଥାଏ; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଗାଡ଼ିର ବେଗ ବଢ଼ିଲେ ଗନ୍ତବ୍ୟ ସ୍ଥଳରେ ପହଞ୍ଚିବାର ସମୟ କମିଯାଏ। ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବ୍ୟବସାୟର ଲାଭ ବଣ୍ଟନ, ମିଶ୍ରଣ ପ୍ରସ୍ତୁତି ଏବଂ ବିଭିନ୍ନ ବ୍ୟବହାରିକ ସମସ୍ୟାର ଉଚିତ ବିଚାର କରିବା ପାଇଁ ସମାନୁପାତିକ ଯୁକ୍ତି ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ।